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2026-07-02 16:54:05 +08:00
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--- a/第02课-循环结构/教案-学生版.md
+++ b/第02课-循环结构/教案-学生版.md
@@ -0,0 +1,160 @@
+# 第2课：循环结构 + 数位拆解
+
+## 教学目标
+- 掌握 for、while 和 do-while 循环的使用场景
+- 掌握数位拆解技巧（取个位、去个位）
+- 能用循环判断回文数
+- 了解水仙花数的判断方法
+
+## 核心考点：循环边界与数位拆解
+
+### 考什么
+判断循环次数和结束条件，并用循环完成求各位和、________数字、判断回文数等任务。
+
+### 必须理解
+次数明确时常用________；结束条件更自然时常用________。数位拆解每轮依次完成：________、使用这一位、________。如果后面还要使用原数，必须先________。
+
+### 核心写法
+```cpp
+int num = ________;
+int rev = 0;
+while (num > 0) {
+    int d = num ________ 10;
+    rev = rev * ________ + d;
+    num ________ 10;
+}
+```
+
+### `do-while` 循环
+
+`do-while` 的特点：循环体至少执行 ______ 次。
+
+```cpp
+do {
+    // 循环体
+} while (条件);  // 结尾不要漏掉 ______
+```
+
+### 常见错误
+- 忘记更新循环变量会发生什么？________________
+- `i < n` 与 `i <= n` 的执行次数有什么区别？____________
+- 为什么反转前要备份原数？________________
+
+### 判断是否掌握
+- [ ] 我能判断循环的起点、终点和次数。
+- [ ] 我能写出取个位与去个位。
+- [ ] 我能独立完成数字反转。
+
+---
+
+## 课堂编程题
+
+### 课堂1：奇偶分组统计【适中】
+
+**题目描述：** 输入正整数 `n`，分别求 `1～n` 中奇数之和、偶数之和，并计算 `1～n` 的乘积。若乘积超过 `10^18`，输出 `TOO LARGE`。
+
+**输入格式：** 输入一个正整数。
+
+**输出格式：** 第一行奇数和与偶数和；第二行乘积或 `TOO LARGE`。
+
+**数据范围：** `1≤n≤30`。
+
+**输入样例：**
+```text
+5
+```
+
+**输出样例：**
+```text
+9 6
+120
+```
+
+**解题思路：** 一个 `for` 循环同时完成奇偶累加；累乘前判断 `product>10^18/i`，避免溢出。
+
+**易错提醒：** 范围是 `1～n`，循环条件必须为 `i<=n`；累加器和累乘器的初值分别为 0 和 1。
+
+---
+
+### 课堂2：数字分析报告【适中】
+
+**题目描述：** 输入一个非负整数，输出它的位数、各位数字之和、最大数字和反转数。
+
+**输入格式：** 输入一个非负整数。
+
+**输出格式：** 依次输出位数、各位和、最大数字、反转数。
+
+**数据范围：** `0≤n≤10^9`。
+
+**输入样例：**
+```text
+50230
+```
+
+**输出样例：**
+```text
+5 10 5 3205
+```
+
+**解题思路：** 备份原数，用 `while` 重复"取个位、使用个位、去个位"；单独处理 `n=0`。
+
+**易错提醒：** 反转后的前导零不会保留；0 本身有一位，不能被普通循环漏掉。
+
+---
+
+### 课堂3：寻找第一个合格数【适中】
+
+**题目描述：** 从 `1～n` 中寻找第一个同时满足"能被 7 整除、不能被 5 整除、各位和大于 10"的数。跳过所有含数字 4 的数；找到后立即输出，否则输出 `NONE`。
+
+**输入格式：** 输入一个正整数。
+
+**输出格式：** 第一个合格数或 `NONE`。
+
+**数据范围：** `1≤n≤100000`。
+
+**输入样例：**
+```text
+100
+```
+
+**输出样例：**
+```text
+77
+```
+
+**解题思路：** 外层枚举数字；拆位检查含 4 和各位和。含 4 时 `continue`，找到答案时 `break`。
+
+**易错提醒：** `continue` 跳过本轮，`break` 结束整个当前循环，两者含义不同。
+
+---
+
+### 课堂4：区间素数统计【适中·双层循环】
+
+**题目描述：** 输入 `L` 和 `R`，输出闭区间内的所有素数及素数个数。
+
+**输入格式：** 输入区间的左端点和右端点。
+
+**输出格式：** 第一行按升序输出素数；第二行输出个数。没有素数时第一行输出 `NONE`。
+
+**数据范围：** `1≤L≤R≤10000`。
+
+**输入样例：**
+```text
+10 20
+```
+
+**输出样例：**
+```text
+11 13 17 19
+4
+```
+
+**解题思路：** 外层枚举候选数，内层从 2 检查到平方根；找到因数立即 `break`。
+
+**易错提醒：** 1 不是素数；内层的 `break` 只结束因数检查，不会结束外层枚举。
+
+---
+
+## 课后作业
+
+> 请完成本课对应的课后作业，见编程题文件。
--- a/第02课-循环结构/教案-教师版.md
+++ b/第02课-循环结构/教案-教师版.md
@@ -0,0 +1,198 @@
+# 第2课：循环结构 + 数位拆解
+
+## 教学目标
+- 掌握 for、while 和 do-while 循环的使用场景
+- 掌握数位拆解技巧（取个位、去个位）
+- 能用循环判断回文数
+- 了解水仙花数的判断方法
+
+## 核心考点：循环边界与数位拆解
+
+### 考什么
+常见题型要求重复执行固定次数、在条件成立时持续循环，或逐位处理一个整数，例如求各位和、反转数字、判断回文数。考点既包括循环写法，也包括循环何时开始、何时结束。
+
+### 必须理解
+`for` 适合次数明确的重复，`while` 适合结束条件更自然的过程。数位拆解每轮做三件事：`n % 10` 取个位，使用这个个位完成统计或拼接，`n /= 10` 去掉个位。因为 n 会不断变小，若后面还要与原数比较，必须提前备份。循环边界要保证每个需要处理的值恰好进入一次，不能漏掉终点或多执行一轮。
+
+### 核心写法
+```cpp
+int original = n;
+int reversed = 0;
+while (n > 0) {
+    int digit = n % 10;
+    reversed = reversed * 10 + digit;
+    n /= 10;
+}
+bool isPalindrome = (reversed == original);
+```
+取位、使用、去位的顺序不能乱；`n /= 10` 还保证循环最终结束。
+
+### `do-while` 循环
+
+`do-while` 会先执行循环体，再判断条件，因此循环体至少执行一次。适合“先操作一次，再决定是否继续”的场景。
+
+```cpp
+int number;
+do {
+    cin >> number;
+} while (number != 0);
+```
+
+注意结尾的分号不能漏掉。三种循环选择原则：次数明确优先 `for`；先判断再重复常用 `while`；至少执行一次使用 `do-while`。
+
+### 常见错误
+- 忘记备份原数，拆解结束后 n 已变成 0。
+- 忘记更新循环变量，造成死循环。
+- 把 `i < n` 和 `i <= n` 混用，导致少算或多算一次。
+- 反转数字时漏写 `reversed * 10`，无法给新个位腾出位置。
+
+### 判断是否掌握
+能判断一个任务该用 `for` 还是 `while`，能准确写出循环范围，并能独立完成取个位、去个位、求各位和或反转数字。
+
+---
+
+## 题目一：判断回文数
+
+### 核心代码（一句话）
+> 回文数的核心：**把数字反转，看反转后和原数是否相等。** 反转靠三行代码——取个位、拼新数、去个位。
+
+### 自然语言思路
+回文数就是"正着读反着读都一样"的数，比如 12321、4554、7。
+
+**怎么判断？分三步走：**
+
+**第一步：备份原数。** 因为待会儿要拆解它，拆完就没了，所以先用 `temp = n` 把原数存好。
+
+**第二步：反转数字。** 这是核心！口诀：**"取个位、拼新数、去个位"**，循环直到原数变成 0。
+
+以 123 为例，手推一遍：
+
+| 轮次 | 原数 temp | 个位 d = temp%10 | 反转数 rev = rev×10+d | temp = temp/10 |
+|------|-----------|-------------------|------------------------|-----------------|
+| 第1轮 | 123 | 3 | 0×10+3 = **3** | 12 |
+| 第2轮 | 12 | 2 | 3×10+2 = **32** | 1 |
+| 第3轮 | 1 | 1 | 32×10+1 = **321** | 0 |
+| 结束 | 0 | — | **321** | — |
+
+反转 123 得到 321。这个过程就像把数字"倒着拼回去"。
+
+**第三步：比较。** 原数 n（备份的）和反转数 rev 相等 → 回文数！
+
+### 伪代码
+```
+输入 n
+temp = n                         // 备份原数
+rev = 0                          // 反转数初始为0
+当 temp > 0:
+    d = temp % 10                // 取个位
+    rev = rev * 10 + d           // 拼到反转数的末尾
+    temp = temp / 10             // 去掉个位
+如果 rev == n:
+    输出 "是回文数"
+否则:
+    输出 "不是回文数"
+```
+
+### 真实代码
+```cpp
+#include <iostream>
+using namespace std;
+
+int main() {
+    int n;
+    cin >> n;
+
+    int rev = 0;            // 存放反转后的数
+    int temp = n;           // 备份原数，因为要拆解
+
+    while (temp > 0) {
+        int d = temp % 10;  // ① 取个位
+        rev = rev * 10 + d; // ② 拼到新数末尾
+        temp /= 10;         // ③ 去掉个位
+    }
+
+    if (rev == n) {
+        cout << "是回文数" << endl;
+    } else {
+        cout << "不是回文数" << endl;
+    }
+    return 0;
+}
+```
+
+### 注意点
+1. **一定要备份原数**：`temp = n` 这一步不能省！否则 n 被拆解成 0 了，最后没法比较。
+2. **`while` vs `for`**：数位拆解用 `while` 更自然，因为事先不知道数字有几位。`for` 适用于知道循环次数的情况。
+3. **`temp % 10` 取个位**：任何整数模 10 就得到个位。如 12345 % 10 = 5。
+4. **`temp / 10` 去个位**：整数除法自动舍去余数。如 12345 / 10 = 1234。
+5. **边界：0 和负数**：0 是回文数（0反转还是0）。负数一般不算回文数（-121 反转是 121-），GESP 一级不会考负数回文。
+6. **循环终止条件**：`temp > 0`，不是 `temp >= 0`（会导致死循环，因为 0/10 还是 0）。
+
+---
+
+## 题目二：（待橙子补充）
+
+> 建议覆盖：水仙花数、for循环基本用法等
+
+---
+
+### 核心代码（一句话）
+>
+
+### 自然语言思路
+
+
+### 伪代码
+
+
+### 真实代码
+```cpp
+
+```
+
+### 注意点
+
+
+---
+
+## 题目三：（待橙子补充）
+
+> 建议覆盖：break/continue、循环综合练习等
+
+---
+
+### 核心代码（一句话）
+>
+
+### 自然语言思路
+
+
+### 伪代码
+
+
+### 真实代码
+```cpp
+
+```
+
+### 注意点
+
+
+---
+
+## 本课打油诗
+
+> **（数位拆解）**
+> 循环取位倒着排，个位拼到新数来。
+> 除十去尾继续转，正反相等回文哉。
+
+> **（回文数判断）**
+> 反转数字比原数，相等就是回文数。
+> 备份原数不能忘，拆完再比才无误。
+
+---
+
+## 课后作业
+（待补充）
+1.
+2.
--- a/第02课-循环结构/编程题-教师版.md
+++ b/第02课-循环结构/编程题-教师版.md
@@ -0,0 +1,690 @@
+# 第5课编程题（教师版）
+
+## 本课知识点覆盖表
+
+| 核心知识点 | GESP等级 | 对应课堂题 |
+|---|---|---|
+| `for`、累加、累乘与循环边界 | 一级必考 | 课堂1 |
+| `while`、取个位、去个位、数字反转 | 一级/二级 | 课堂2 |
+| `break`、`continue` 与循环控制 | 一级必考 | 课堂3 |
+| 双层循环、外层枚举对象、内层检查条件 | 一级巩固/二级 | 课堂4 |
+
+> 本课包含 6 道双层循环题，作为第 6 课嵌套循环的过渡。
+
+## 一、课堂练习（4题）
+
+### 课堂1：奇偶分组统计【适中】
+
+**题目描述：** 输入正整数 `n`，分别求 `1～n` 中奇数之和、偶数之和，并计算 `1～n` 的乘积。若乘积超过 `10^18`，输出 `TOO LARGE`。
+
+**输入格式：** 输入一个正整数。
+
+**输出格式：** 第一行奇数和与偶数和；第二行乘积或 `TOO LARGE`。
+
+**数据范围：** `1≤n≤30`。
+
+**输入样例：**
+```text
+5
+```
+
+**输出样例：**
+```text
+9 6
+120
+```
+
+**解题思路：** 一个 `for` 循环同时完成奇偶累加；累乘前判断 `product>10^18/i`，避免溢出。
+
+**参考代码：**
+```cpp
+#include <iostream>
+using namespace std;
+
+int main() {
+    int n;
+    long long oddSum = 0, evenSum = 0, product = 1;
+    bool tooLarge = false;
+    cin >> n;
+    for (int i = 1; i <= n; i++) {
+        if (i % 2 == 0) evenSum += i;
+        else oddSum += i;
+        if (!tooLarge) {
+            if (product > 1000000000000000000LL / i) tooLarge = true;
+            else product *= i;
+        }
+    }
+    cout << oddSum << " " << evenSum << "\n";
+    if (tooLarge) cout << "TOO LARGE";
+    else cout << product;
+    return 0;
+}
+```
+
+**易错提醒：** 范围是 `1～n`，循环条件必须为 `i<=n`；累加器和累乘器的初值分别为 0 和 1。
+
+### 课堂2：数字分析报告【适中】
+
+**题目描述：** 输入一个非负整数，输出它的位数、各位数字之和、最大数字和反转数。
+
+**输入格式：** 输入一个非负整数。
+
+**输出格式：** 依次输出位数、各位和、最大数字、反转数。
+
+**数据范围：** `0≤n≤10^9`。
+
+**输入样例：**
+```text
+50230
+```
+
+**输出样例：**
+```text
+5 10 5 3205
+```
+
+**解题思路：** 备份原数，用 `while` 重复“取个位、使用个位、去个位”；单独处理 `n=0`。
+
+**参考代码：**
+```cpp
+#include <iostream>
+#include <algorithm>
+using namespace std;
+
+int main() {
+    int n;
+    cin >> n;
+    if (n == 0) {
+        cout << "1 0 0 0";
+        return 0;
+    }
+    int temp = n, count = 0, sum = 0, biggest = 0, reversed = 0;
+    while (temp > 0) {
+        int digit = temp % 10;
+        count++;
+        sum += digit;
+        biggest = max(biggest, digit);
+        reversed = reversed * 10 + digit;
+        temp /= 10;
+    }
+    cout << count << " " << sum << " " << biggest << " " << reversed;
+    return 0;
+}
+```
+
+**易错提醒：** 反转后的前导零不会保留；0 本身有一位，不能被普通循环漏掉。
+
+### 课堂3：寻找第一个合格数【适中】
+
+**题目描述：** 从 `1～n` 中寻找第一个同时满足“能被 7 整除、不能被 5 整除、各位和大于 10”的数。跳过所有含数字 4 的数；找到后立即输出，否则输出 `NONE`。
+
+**输入格式：** 输入一个正整数。
+
+**输出格式：** 第一个合格数或 `NONE`。
+
+**数据范围：** `1≤n≤100000`。
+
+**输入样例：**
+```text
+100
+```
+
+**输出样例：**
+```text
+77
+```
+
+**解题思路：** 外层枚举数字；拆位检查含 4 和各位和。含 4 时 `continue`，找到答案时 `break`。
+
+**参考代码：**
+```cpp
+#include <iostream>
+using namespace std;
+
+int main() {
+    int n, answer = -1;
+    cin >> n;
+    for (int x = 1; x <= n; x++) {
+        int temp = x, sum = 0;
+        bool hasFour = false;
+        while (temp > 0) {
+            int digit = temp % 10;
+            if (digit == 4) hasFour = true;
+            sum += digit;
+            temp /= 10;
+        }
+        if (hasFour) continue;
+        if (x % 7 == 0 && x % 5 != 0 && sum > 10) {
+            answer = x;
+            break;
+        }
+    }
+    if (answer == -1) cout << "NONE";
+    else cout << answer;
+    return 0;
+}
+```
+
+**易错提醒：** `continue` 跳过本轮，`break` 结束整个当前循环，两者含义不同。
+
+### 课堂4：区间素数统计【适中·双层循环】
+
+**题目描述：** 输入 `L` 和 `R`，输出闭区间内的所有素数及素数个数。
+
+**输入格式：** 输入区间的左端点和右端点。
+
+**输出格式：** 第一行按升序输出素数；第二行输出个数。没有素数时第一行输出 `NONE`。
+
+**数据范围：** `1≤L≤R≤10000`。
+
+**输入样例：**
+```text
+10 20
+```
+
+**输出样例：**
+```text
+11 13 17 19
+4
+```
+
+**解题思路：** 外层枚举候选数，内层从 2 检查到平方根；找到因数立即 `break`。
+
+**参考代码：**
+```cpp
+#include <iostream>
+using namespace std;
+
+int main() {
+    int L, R, count = 0;
+    cin >> L >> R;
+    for (int x = L; x <= R; x++) {
+        if (x < 2) continue;
+        bool prime = true;
+        for (int d = 2; d * d <= x; d++) {
+            if (x % d == 0) {
+                prime = false;
+                break;
+            }
+        }
+        if (prime) {
+            if (count) cout << " ";
+            cout << x;
+            count++;
+        }
+    }
+    if (count == 0) cout << "NONE";
+    cout << "\n" << count;
+    return 0;
+}
+```
+
+**易错提醒：** 1 不是素数；内层的 `break` 只结束因数检查，不会结束外层枚举。
+
+## 二、课后作业（3题）
+
+### 课后1：从 1 加到 n【简单】
+
+**题目描述：** 输入 `n`，用循环求 `1+2+…+n`。
+
+**输入格式：** 输入一个正整数。
+
+**输出格式：** 累加和。
+
+**数据范围：** `1≤n≤10^6`。
+
+**输入样例：**
+```text
+5
+```
+
+**输出样例：**
+```text
+15
+```
+
+**解题思路：** 累加器从 0 开始，循环范围为 `1～n`。
+
+**参考代码：**
+```cpp
+#include <iostream>
+using namespace std;
+
+int main() {
+    int n;
+    long long sum = 0;
+    cin >> n;
+    for (int i = 1; i <= n; i++) sum += i;
+    cout << sum;
+    return 0;
+}
+```
+
+**易错提醒：** 和可能超过 `int`，使用 `long long`。
+
+### 课后2：各位数字之和【简单】
+
+**题目描述：** 输入一个正整数，输出各位数字之和。
+
+**输入格式：** 输入一个正整数。
+
+**输出格式：** 各位数字之和。
+
+**数据范围：** `1≤n≤10^9`。
+
+**输入样例：**
+```text
+5082
+```
+
+**输出样例：**
+```text
+15
+```
+
+**解题思路：** 每轮用 `n%10` 取个位并累加，再用 `n/=10` 去个位。
+
+**参考代码：**
+```cpp
+#include <iostream>
+using namespace std;
+
+int main() {
+    int n, sum = 0;
+    cin >> n;
+    while (n > 0) {
+        sum += n % 10;
+        n /= 10;
+    }
+    cout << sum;
+    return 0;
+}
+```
+
+**易错提醒：** 循环内必须更新 `n`，否则会形成死循环。
+
+### 课后3：跳过 3 的倍数【简单】
+
+**题目描述：** 输出 `1～n` 中所有不是 3 的倍数的数。
+
+**输入格式：** 输入一个正整数。
+
+**输出格式：** 符合条件的数，以空格分隔。
+
+**数据范围：** `1≤n≤100`。
+
+**输入样例：**
+```text
+7
+```
+
+**输出样例：**
+```text
+1 2 4 5 7
+```
+
+**解题思路：** 遇到 3 的倍数时使用 `continue`。
+
+**参考代码：**
+```cpp
+#include <iostream>
+using namespace std;
+
+int main() {
+    int n;
+    bool first = true;
+    cin >> n;
+    for (int i = 1; i <= n; i++) {
+        if (i % 3 == 0) continue;
+        if (!first) cout << " ";
+        cout << i;
+        first = false;
+    }
+    return 0;
+}
+```
+
+**易错提醒：** 输出空格时用 `first` 控制，可避免行末多余空格。
+
+## 三、扩展练习（7题）
+
+### 扩展1：回文数判断【基础综合】
+
+**题目描述：** 输入一个非负整数，判断是否为回文数。
+
+**输入格式：** 输入一个非负整数。
+
+**输出格式：** 是回文数输出 `YES`，否则输出 `NO`。
+
+**数据范围：** `0≤n≤10^9`。
+
+**输入样例：**
+```text
+12321
+```
+
+**输出样例：**
+```text
+YES
+```
+
+**解题思路：** 备份原数，构造反转数并比较。
+
+**参考代码：**
+```cpp
+#include <iostream>
+using namespace std;
+
+int main() {
+    int n, temp, reversed = 0;
+    cin >> n;
+    temp = n;
+    while (temp > 0) {
+        reversed = reversed * 10 + temp % 10;
+        temp /= 10;
+    }
+    cout << (reversed == n ? "YES" : "NO");
+    return 0;
+}
+```
+
+**易错提醒：** 0 的反转仍是 0，因此程序也能正确判断。
+
+### 扩展2：三位水仙花数【中等·双层思维】
+
+**题目描述：** 输出 `100～n` 中所有水仙花数。三位数各位数字立方和等于原数时称为水仙花数。
+
+**输入格式：** 输入一个整数，表示枚举范围的上界。
+
+**输出格式：** 所有水仙花数，以空格分隔；没有则输出 `NONE`。
+
+**数据范围：** `100≤n≤999`。
+
+**输入样例：**
+```text
+400
+```
+
+**输出样例：**
+```text
+153 370 371
+```
+
+**解题思路：** 外层枚举三位数，内层 `while` 拆出三位并累加立方。
+
+**参考代码：**
+```cpp
+#include <iostream>
+using namespace std;
+
+int main() {
+    int n, count = 0;
+    cin >> n;
+    for (int x = 100; x <= n; x++) {
+        int temp = x, sum = 0;
+        while (temp > 0) {
+            int d = temp % 10;
+            sum += d * d * d;
+            temp /= 10;
+        }
+        if (sum == x) {
+            if (count) cout << " ";
+            cout << x;
+            count++;
+        }
+    }
+    if (count == 0) cout << "NONE";
+    return 0;
+}
+```
+
+**易错提醒：** 判断时要与原数 `x` 比较，不能与已变成 0 的 `temp` 比较。
+
+### 扩展3：因数清单【中等·双层循环】
+
+**题目描述：** 对 `1～n` 中的每个数，输出该数及它的所有正因数，每个数占一行。
+
+**输入格式：** 输入一个正整数。
+
+**输出格式：** 第 `x` 行先输出 `x:`，再输出 `x` 的所有正因数。
+
+**数据范围：** `1≤n≤30`。
+
+**输入样例：**
+```text
+3
+```
+
+**输出样例：**
+```text
+1: 1
+2: 1 2
+3: 1 3
+```
+
+**解题思路：** 外层枚举数字 `x`，内层枚举可能的因数 `d`。
+
+**参考代码：**
+```cpp
+#include <iostream>
+using namespace std;
+
+int main() {
+    int n;
+    cin >> n;
+    for (int x = 1; x <= n; x++) {
+        cout << x << ":";
+        for (int d = 1; d <= x; d++) {
+            if (x % d == 0) cout << " " << d;
+        }
+        cout << "\n";
+    }
+    return 0;
+}
+```
+
+**易错提醒：** 内层上界随当前数字 `x` 变化，不是固定使用 `n`。
+
+### 扩展4：完数统计【中等·双层循环】
+
+**题目描述：** 一个正整数的所有真因数（不含自身）之和等于它本身，则称为完数。输出 `2～n` 中所有完数。
+
+**输入格式：** 输入一个正整数。
+
+**输出格式：** 所有完数；没有则输出 `NONE`。
+
+**数据范围：** `2≤n≤10000`。
+
+**输入样例：**
+```text
+30
+```
+
+**输出样例：**
+```text
+6 28
+```
+
+**解题思路：** 外层枚举候选数，内层枚举 `1～x/2` 并累加因数。
+
+**参考代码：**
+```cpp
+#include <iostream>
+using namespace std;
+
+int main() {
+    int n, count = 0;
+    cin >> n;
+    for (int x = 2; x <= n; x++) {
+        int sum = 0;
+        for (int d = 1; d <= x / 2; d++) {
+            if (x % d == 0) sum += d;
+        }
+        if (sum == x) {
+            if (count) cout << " ";
+            cout << x;
+            count++;
+        }
+    }
+    if (count == 0) cout << "NONE";
+    return 0;
+}
+```
+
+**易错提醒：** 真因数不包含自身；每次检查新数字时 `sum` 都要清零。
+
+### 扩展5：乘积等于目标的数对【中等·双层循环】
+
+**题目描述：** 输入 `n` 和目标 `m`，输出所有满足 `1≤a<b≤n` 且 `a*b=m` 的数对。
+
+**输入格式：** 输入枚举上界和目标乘积。
+
+**输出格式：** 每行一对 `a b`；没有则输出 `NONE`。
+
+**数据范围：** `1≤n≤1000`，`1≤m≤10^6`。
+
+**输入样例：**
+```text
+10 24
+```
+
+**输出样例：**
+```text
+3 8
+4 6
+```
+
+**解题思路：** 外层枚举 `a`，内层只从 `a+1` 枚举 `b`，避免重复和 `a=b`。
+
+**参考代码：**
+```cpp
+#include <iostream>
+using namespace std;
+
+int main() {
+    int n, m, count = 0;
+    cin >> n >> m;
+    for (int a = 1; a <= n; a++) {
+        for (int b = a + 1; b <= n; b++) {
+            if (a * b == m) {
+                cout << a << " " << b << "\n";
+                count++;
+            }
+        }
+    }
+    if (count == 0) cout << "NONE";
+    return 0;
+}
+```
+
+**易错提醒：** `b` 从 `a+1` 开始，才能保证每个无序数对只输出一次。
+
+### 扩展6：回文素数【略难·双层循环】
+
+**题目描述：** 输出 `L～R` 中既是回文数又是素数的数。
+
+**输入格式：** 输入区间的左端点和右端点。
+
+**输出格式：** 所有回文素数；没有则输出 `NONE`。
+
+**数据范围：** `1≤L≤R≤100000`。
+
+**输入样例：**
+```text
+10 150
+```
+
+**输出样例：**
+```text
+11 101 131
+```
+
+**解题思路：** 外层枚举；先反转判断回文，通过后再用内层循环判断素数。
+
+**参考代码：**
+```cpp
+#include <iostream>
+using namespace std;
+
+int main() {
+    int L, R, count = 0;
+    cin >> L >> R;
+    for (int x = L; x <= R; x++) {
+        int temp = x, reversed = 0;
+        while (temp > 0) {
+            reversed = reversed * 10 + temp % 10;
+            temp /= 10;
+        }
+        if (reversed != x || x < 2) continue;
+
+        bool prime = true;
+        for (int d = 2; d * d <= x; d++) {
+            if (x % d == 0) {
+                prime = false;
+                break;
+            }
+        }
+        if (prime) {
+            if (count) cout << " ";
+            cout << x;
+            count++;
+        }
+    }
+    if (count == 0) cout << "NONE";
+    return 0;
+}
+```
+
+**易错提醒：** 先判断回文可减少素数检查次数；1 仍然不是素数。
+
+### 扩展7：最接近目标的因数积【略难·双层循环】
+
+**题目描述：** 输入 `n` 和目标 `target`。在所有满足 `1≤a≤b≤n` 的数对中，寻找乘积与目标差的绝对值最小的一对；并列时先选较小的 `a`，再选较小的 `b`。
+
+**输入格式：** 输入数对中每个数的上界和目标值。
+
+**输出格式：** 输出 `a b a*b`。
+
+**数据范围：** `1≤n≤500`，`1≤target≤250000`。
+
+**输入样例：**
+```text
+10 53
+```
+
+**输出样例：**
+```text
+6 9 54
+```
+
+**解题思路：** 双层枚举所有合法数对，用二次打擂台比较乘积距离、`a`、`b`。
+
+**参考代码：**
+```cpp
+#include <iostream>
+#include <cmath>
+using namespace std;
+
+int main() {
+    int n, target;
+    cin >> n >> target;
+    int bestA = 1, bestB = 1;
+    for (int a = 1; a <= n; a++) {
+        for (int b = a; b <= n; b++) {
+            int now = a * b;
+            int best = bestA * bestB;
+            if (abs(now - target) < abs(best - target) ||
+                (abs(now - target) == abs(best - target) && a < bestA) ||
+                (abs(now - target) == abs(best - target) &&
+                 a == bestA && b < bestB)) {
+                bestA = a;
+                bestB = b;
+            }
+        }
+    }
+    cout << bestA << " " << bestB << " " << bestA * bestB;
+    return 0;
+}
+```
+
+**易错提醒：** 枚举范围允许 `a=b`；并列规则必须按顺序完整处理。